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三角関数表のタンジェントの表におけるtan171°の導出

今回は、tan 171° = -0.158385…を電卓で計算する方法について明らかにしていきます。

θ 30° 45° 60° 90°
y 0 \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) 1 \(\sqrt{3}\)

この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は直角三角形から数値が算出できます。
ですが、$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$以外であるθ=1°だと求めるのが難しいです。

そこで、tan 171° = -0.158385…になる理由を説明します。

目次

10位目までtan 171°を確認

最初に、tan 171°を10桁調べてみましょう!$$\tan 171° = -0.1583844404\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 171° = -0.158385…を求める

tan 171° = -0.158385…を解くためにマクローリン展開をうまく使う必要があります。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を入れて計算するとサインとコサインを求められらます。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 171°=2.984513…$$ $$\sin 171° = 0.156434…$$
$$\cos 171° = -0.987689…$$

サインとコサインを使って$\tan 171° = \displaystyle \frac{\sin 171°}{\cos 171°}$からtanを解くことができます。

$$\tan 171° = -0.158385…$$

tan 171°の解説動画

このページで説明した内容を120秒で確認できる動画を準備しました。よかったら、参考にしてください!

(誠意作成中)

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