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三角関数表のサインの表におけるsin159°の解き方

この記事では、sin 159° = 0.358367…を計算する方法について解き明かしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表について、値の計算の仕方を紹介していきます。

サインの表とはこのような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
この記事では、sin159°の求める方法紹介です。

$$\sin 159°=0.358367…$$

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sin 159° を10桁調べる

唐突ではありますが、sin 159°を10桁調べてみましょう!$$\sin 159° = 0.3583679495 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin159°の値を明らかにする

三角関数表を使わずにsin159°の値を計算する方法は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

  1. 分度器を使って159°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を駆使して計算する
  3. マクローリン展開に値を代入して解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を求められず、求まる値は近似値になります。

2のやり方だと、導出がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を紹介します。

マクローリン展開でsin159°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\sin x\)を計算することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)から\(\sin x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 159°$$

この式を計算すると、
$弧度法=2.775073…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 159°\)を求められます。

$$\sin 159° = 0.358367…$$

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