今回は、sin 18° = 0.309016…を求める仕方について解説していきます。
三角関数表の中のサイン(sin)の表について、値の計算方法を明らかにしていきます。
サインの表とはこのような表のことです。
角度 | 値 | 角度 | 値 |
---|---|---|---|
sin1° | 0.017452 | sin2° | 0.034899 |
sin3° | 0.052335 | sin4° | 0.069756 |
・・・ | ・・・ | ||
sin30° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | sin45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
sin60° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | sin90° | 1 |
教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
この記事では、sin18°の計算方法説明です。
$$\sin 18°=0.309016…$$
10桁のsin 18°を書いてみる
最初に、sin 18°を10桁確認してみましょう!$$\sin 18° = 0.3090169943 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
sin18°の値を求める
三角関数表を活用せずにsin18°の値を解く手法は大きく3つあります。
1の方法は、定規を使うため正確な値を計算できず、出てくる値は近似値になります。
2の方法だと、計算がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を紹介します。
マクローリン展開でsin18°を求める
マクローリン展開によって、下記の式で\(\sin x\)を解くことができます。
$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を使うと\(\sin x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かればOKですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 18°$$
この式を計算すると、
$弧度法=0.314159…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 18°\)を求められます。
$$\sin 18° = 0.309016…$$
コメント