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三角関数表のコサインの表におけるcos289°を解く

今回は、cos 289° = 0.325568…を三角関数表を使わずに求める仕方について明らかにしていきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に焦点を絞って、値の算出方法を説明していきます。

コサインの表とはこのような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

教科書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
この記事では、cos289°の求める方法説明です。

$$\cos 289°=0.325568…$$

目次

cos 289°を10桁確認

初めに、cos 289°を10桁表してみましょう!$$\cos 289° = 0.3255681544 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos289°の値を解く

三角関数表を確認せずにcos289°の値を計算する方法は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

  1. 分度器を活用して289°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1のやり方は、定規を使うため正確な値を求められず、出てくる値は近似値になります。

2の手法だと、計算がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を解説します。

マクローリン展開でcos289°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\cos x\)を解くことができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を使うと\(\cos x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 289°$$

この式を計算すると、
$弧度法=5.044001…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 289°\)を求められます。

$$\cos 289° = 0.325568…$$

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