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三角関数表のコサインの表におけるcos97°を求める方法

今回は、cos 97° = -0.12187…を電卓で計算する手法について解き明かしていきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に焦点を絞って、値の計算の仕方を解説していきます。

コサインの表とは下記のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
本解説では、cos97°の算出方法説明です。

$$\cos 97°=-0.12187…$$

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cos 97°を10桁確認

初めに、cos 97°を10桁表してみましょう!$$\cos 97° = -0.1218693435 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos97°の値を明らかにする

三角関数表を参照せずにcos97°の値を解くやり方は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

  1. 分度器を使用して97°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開を活用して解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を計算できず、答えは近似値になります。

2のやり方だと、計算が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を説明します。

マクローリン展開でcos97°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\cos x\)を算出することができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を使うと\(\cos x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 97°$$

この式を計算すると、
$弧度法=1.692969…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 97°\)を求められます。

$$\cos 97° = -0.12187…$$

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