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三角関数表のサインの表におけるsin18°|マクローリン展開で解く

今回は、sin 18° = 0.309016…を求める仕方について解説していきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表について、値の計算方法を明らかにしていきます。

サインの表とはこのような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
この記事では、sin18°の計算方法説明です。

$$\sin 18°=0.309016…$$

目次

10桁のsin 18°を書いてみる

最初に、sin 18°を10桁確認してみましょう!$$\sin 18° = 0.3090169943 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin18°の値を求める

三角関数表を活用せずにsin18°の値を解く手法は大きく3つあります。

  1. 分度器を活用して18°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を駆使して計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を計算できず、出てくる値は近似値になります。

2の方法だと、計算がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を紹介します。

マクローリン展開でsin18°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\sin x\)を解くことができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を使うと\(\sin x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 18°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.314159…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 18°\)を求められます。

$$\sin 18° = 0.309016…$$

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