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三角関数表のサインの表におけるsin123°の求め方

それでは、sin 123° = 0.83867…を電卓で計算する方法について共有します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表について、値の求め方を説明していきます。

サインの表とはこのような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
このページでは、sin123°の算出方法解説です。

$$\sin 123°=0.83867…$$

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10位までsin 123°を調べる

唐突ではありますが、sin 123°を10桁書いてみましょう!$$\sin 123° = 0.8386705679 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin123°の値を解く

三角関数表を使用せずにsin123°の値を求める手法はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を使用して123°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を駆使して計算する
  3. マクローリン展開に値を代入して解く

1のやり方は、定規を使うため正確な値を計算できず、答えは近似値になります。

2の方法だと、導出がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を説明します。

マクローリン展開でsin123°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\sin x\)を計算することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)が分かれば\(\sin x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 123°$$

この式を計算すると、
$弧度法=2.146754…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 123°\)を求められます。

$$\sin 123° = 0.83867…$$

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