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三角関数表のサインの表におけるsin23°の解き方

それでは、sin 23° = 0.390731…を電卓で計算する方法について共有します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に注目して、値の求め方を明らかにしていきます。

サインの表とは下ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
今回は、sin23°の計算方法解説です。

$$\sin 23°=0.390731…$$

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sin 23°を10桁確認

唐突ではありますが、sin 23°を10桁書いてみましょう!$$\sin 23° = 0.3907311284 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin23°の値を明らかにする

三角関数表を活用せずにsin23°の値を解く方法はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を使って23°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開に弧度法の角度を代入して求める

1の方法は、定規を使うため正確な値を求められず、答えは近似値になります。

2の手法だと、計算過程が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を紹介します。

マクローリン展開でsin23°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\sin x\)を算出することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)によって、\(\sin x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 23°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.401425…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 23°\)を求められます。

$$\sin 23° = 0.390731…$$

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