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[数2]三角関数のグラフの書き方と周期、sin、cos、tanに分けて解説

三角関数のグラフのかき方を、図を使って詳しく解説します!

sin,cos,tanそれぞれのグラフの特徴と、ポイントとなる座標、効率よく書く方法、すべてわかります!

最後まで読んで、三角関数の基本となるグラフをしっかりマスターしましょう!

※参考記事
サインコサインタンジェントとは?表、公式、覚え方をわかりやすく解説

目次

三角関数のグラフの書き方

三角関数のグラフは、1次関数や2次関数のグラフとはちょっと違います。
まず、座標は下の座標を使います。

三角関数のグラフの軸
三角関数のグラフの軸

横軸はxではなく、θですね。πの値が目盛になっています。

※参考記事
二次関数のグラフと書き方|平行移動と対称移動も解説

一次関数のグラフ|書き方と求め方を分数の場合も解説

θは三角関数の角度を弧度法で表したもので、その角度に対するsinθ,cosθ,tanθの値をy座標にとっていきます。
弧度法に自信がない人は、弧度法の復習をしておきましょう。より理解しやすいですよ。

※参考記事
弧度法とは?表、変換、覚え方、考え方、をわかりやすく解説

三角関数のグラフというと難しそうですが、とても規則性のあるグラフなので覚えやすいと思います!

sinのグラフ

角θの動径と単位円の交点をP(x,y)とします。sinθ=yなので、sinθの値は点Pのy座標と等しくなります。この関係性から、y=sinθのグラフは下のようになります。

サインのグラフ (y = sinθのグラフ)
サインのグラフ (y = sinθのグラフ)

y=sinθのグラフは、動径が1周する2πごとに同じ形が繰り返されます。
この2πをy=sinθの周期といいます。グラフをかくときは2π周期ということも意識してくださいね。

sinθのグラフの書き方

グラフのかき方は下の通りです。

サインのグラフの書き方 (y = sinθのグラフ)
サインのグラフの書き方 (y = sinθのグラフ)

$\sin 0=\sin \pi=\sin 2\pi$であり、$\sin \displaystyle\frac{\pi}{2}=1\ ,\ \sin{\displaystyle\frac{3}{2}\pi}=-1$なので、$\left(0,0\right)\ ,\ \left(\pi\ ,\ 0\right)\ ,\ \left(2\pi,0\right)$, $\left(\frac{\pi}{2},\ 1\right)\ ,\ \left(\frac{3}{2}\pi,-1\right)$の点を座標上にとって、波型につなげていきます。

あとは同じ間隔で波型をかいていきます。。

グラフは原点に対して対称で、yの範囲は$-1≦y≦1$です。

sinθのグラフの特徴

$y=sinθ$のグラフの特徴は以下の3つです。

  1. 周期が2π
  2. yの範囲は-1≦y≦1
  3. 原点に対して対称である

cosとtanのグラフとは違う特徴になるので覚えておきましょう!

cosのグラフ

角θの動径と単位円の交点をP(x,y)とします。cosθ=xなので、cosθの値は点Pのx座標と等しくなります。

よって、y=cosθのグラフは下のようになります。
(単位円を90°回転させることで、点Pのx座標とcosθの値を対応させています。)

コサインのグラフ (y = cosθのグラフ)
コサインのグラフ (y = cosθのグラフ)

y=cosθのグラフもy=sinθのグラフと同様、周期は2πで、yの範囲は-1≦y≦1です。
グラフは、y軸に対して対称です。

y=cosθのグラフは、y=sinθのグラフをθ軸方向に-π/2平行移動したグラフです。
形はまったく同じなのがわかりますね。

cosθのグラフの書き方

グラフの書き方は下の通りです。

コサインのグラフの書き方 (y = cosθのグラフ)
コサインのグラフの書き方 (y = cosθのグラフ)

$\cos \displaystyle \frac{\pi}{2}=\cos \displaystyle \frac{3}{2}\pi=0$であり、$\cos 0=\cos 2\pi =1,\ \cos \pi =-1$なので、$\left( \displaystyle \frac{\pi}{2},\ 0\right), \left( \displaystyle \frac{3\pi}{2},\ 0\right),\ (0,\ 1),\ (\pi,\ -1),\ (2\pi,\ 1)$の点を座標にとって、波型につなげていきます。

あとは同じ間隔で波型をかいていきます。
$y=\sin θ$のグラフを、$\displaystyle \frac{\pi}{2}$だけ水平方向に移動したものと覚えてもいいですね。

cosθのグラフの特徴

$y = \cosθ$のグラフの特徴は下記の3つです。

  1. 周期が2π
  2. yの範囲は-1≦y≦1
  3. y軸に関して対称である。

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tanのグラフ

y=tanθのグラフはsin,cosのグラフと一味違います。下のグラフになります。

まずは、単位円を使って考えてみましょう。

コサインのグラフ (y = cosθのグラフ)
コサインのグラフ (y = cosθのグラフ)

角θの動径と単位円の交点をP(x,y)とします。直線 x=1 と直線OPの交点をT(1,m)とすると、
$\tanθ=\displaystyle \frac{y}{x}=\displaystyle \frac{m}{1}=m
tanθの値mは動径の傾きでもあります。

θの各値に対して、Tのy座標の値をとって、$y=\tanθ$のグラフをかいていきます。
とはいえ、実際には動径の傾きを考えながらグラフを書いていくというのは難しいですね。

tanθのグラフの書き方

書き方は下の図を参考にしてください。

タンジェントのグラフの書き方 (y = tanθのグラフ)
タンジェントのグラフの書き方 (y = tanθのグラフ)

$\theta=\displaystyle \frac{\pi}{2}$のとき、tanθの値は「なし」ですね。グラフも、$\theta=\displaystyle \frac{\pi}{2}$の座標は通りません。

θが限りなく$\displaystyle \frac{\pi}{2}$に近づくと、グラフは直線$\theta=\displaystyle \frac{\pi}{2}$に近づいていきます。

この直線$\theta=\displaystyle \frac{\pi}{2}$のようにグラフが限りなく近づく直線を、漸近線といいます。

漸近線がグラフをかくときの目印になります。グラフをかく前に、漸近線をかいておくといいでしょう。漸近線とグラフは交わったり、ひっついたりしないように気を付けましょう。

$\tan 0=\tan \pi=\tan 2\pi=0$, $\tan \displaystyle \frac{\pi}{4}=\tan \displaystyle \frac{5}{4}\pi=1,\ \tan\displaystyle \frac{3}{4}\pi=-1$なので、$(0,\ 0),\ (\pi,\ 0),\ (2\pi,\ 0)$, $\left( \displaystyle \frac{\pi}{4},\ 1\right),\ \left( \displaystyle \frac{5}{4}\pi,\ 1\right),\ \left( \displaystyle \frac{3}{4}\pi,\ -1\right)$を通ることも意識して書きましょう。

$y=\tanθ$の周期はπです。これも、$y=\sinθ,\ y=\cosθ$のグラフと異なる点です。
気を付けましょう。

tanθのグラフの特徴

$y=\tan θ$のグラフの特徴は下記の3つです。

  1. 直線θ=π/2,θ=3π/2などは、グラフの漸近線である。
  2. 周期はπ
  3. グラフは原点に関して対称

三角関数のグラフの書き方のまとめ

三角関数のグラフについて解説しました。
ポイントは下記の3つです。

  1. 三角関数のグラフには周期があり、規則性のある形をしています。
  2. y=cosθのグラフはy=sinθのグラフをπ/2水平移動したグラフです。
  3. y=tanθのグラフには漸近線があります。グラフは漸近線に限りなく近づきますが、交わることはありません。

三角関数のグラフは、まず形から覚えましょう。y=0,y=1,y=-1になる点を目印にすると、書きやすいですよ。

今回紹介したグラフは、一番基本となるグラフです。
このグラフをもとにy=2sinθや、y=cos(θ-π/3)のようなグラフもかけるようになります。基本のグラフをしっかりマスターしておきましょう!

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