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三角関数表のコサインの表におけるcos297°を簡単導出!

本解説では、cos 297° = 0.45399…を算出する処理方法について解き明かしていきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に焦点を絞って、値の算出方法を紹介していきます。

コサインの表とは下記のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
この記事では、cos297°の求める方法解説です。

$$\cos 297°=0.45399…$$

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10位までcos 297°を表す

まずは、cos 297°を10桁調べてみましょう!$$\cos 297° = 0.4539904997 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos297°の値を算出する

三角関数表を参照せずにcos297°の値を求めるやり方は3つあります。

  1. 分度器用いて297°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を活用して計算する
  3. マクローリン展開を活用して解く

1のやり方は、定規を使うため正確な値を算出できず、求まる値は近似値になります。

2のやり方だと、途中の計算が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を説明します。

マクローリン展開でcos297°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\cos x\)を明らかにすることができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を使うと\(\cos x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 297°$$

この式を計算すると、
$弧度法=5.183627…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 297°\)を求められます。

$$\cos 297° = 0.45399…$$

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