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三角関数表のタンジェント表におけるtan68°を簡単導出!

それでは、tan 68° = 2.475086…を算出する処理方法について解説していきます。

θ 30° 45° 60° 90°
y 0 \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) 1 \(\sqrt{3}\)

この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は具体的な値が算出できます。
ですが、 θ=1°だと計算するのが難しいです。

そこで、tan 68° = 2.475086…を計算する方法を説明します。

目次

10位目までtan 68°を表す

初めに、tan 68°を10桁書いてみましょう!$$\tan 68° = 2.4750868534\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 68° = 2.475086…を計算する

tan 68° = 2.475086…を解くためにマクローリン展開を活用します。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を代入するとサインとコサインの値が求まります。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 68°=1.186823…$$ $$\sin 68° = 0.927183…$$
$$\cos 68° = 0.374606…$$

サインとコサインの値から$\tan 68° = \displaystyle \frac{\sin 68°}{\cos 68°}$からtanを求められます。

$$\tan 68° = 2.475086…$$

tan 68°|120秒の復習動画

このページで説明した内容を120秒で復習できる動画を作りました!

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