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三角関数表のコサインの表におけるcos301°を解く

このページでは、cos 301° = 0.515038…を電卓で計算する仕方について共有します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に光を当てて、値の計算方法を説明していきます。

コサインの表とは下記のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

教科書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
このページでは、cos301°の計算の仕方説明です。

$$\cos 301°=0.515038…$$

目次

10桁のcos 301°を表す

最初に、cos 301°を10桁書いてみましょう!$$\cos 301° = 0.5150380749 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos301°の値を解く

三角関数表を参照せずにcos301°の値を解くやり方はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を活用して301°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開に値を代入して解く

1の手法は、定規を使うため正確な値を算出できず、求まる値は近似値になります。

2の手法だと、途中の計算が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を解説します。

マクローリン展開でcos301°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\cos x\)を算出することができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を使うと\(\cos x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 301°$$

この式を計算すると、
$弧度法=5.253441…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 301°\)を求められます。

$$\cos 301° = 0.515038…$$

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