本解説では、sin 17° = 0.292371…を求める処理方法について解き明かしていきます。
三角関数表の中のサイン(sin)の表に着目して、値の計算の仕方を解説していきます。
サインの表とは下記ののような表のことです。
角度 | 値 | 角度 | 値 |
---|---|---|---|
sin1° | 0.017452 | sin2° | 0.034899 |
sin3° | 0.052335 | sin4° | 0.069756 |
・・・ | ・・・ | ||
sin30° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | sin45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
sin60° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | sin90° | 1 |
数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
このページでは、sin17°の求め方紹介です。
$$\sin 17°=0.292371…$$
10位までsin 17°を確認
最初に、sin 17°を10桁調べてみましょう!$$\sin 17° = 0.2923717047 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
sin17°の値を明らかにする
三角関数表を参照せずにsin17°の値を算出するやり方は大きく3つあります。
1の手法は、定規を使うため正確な値を求められず、求まる値は近似値になります。
2の方法だと、導出過程が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を紹介します。
マクローリン展開でsin17°を求める
マクローリン展開によって、下記の式で\(\sin x\)を明らかにすることができます。
$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を代入すると\(\sin x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 17°$$
この式を計算すると、
$弧度法=0.296705…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 17°\)を求められます。
$$\sin 17° = 0.292371…$$
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