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三角関数表のサインの表におけるsin17°を求める方法

本解説では、sin 17° = 0.292371…を求める処理方法について解き明かしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に着目して、値の計算の仕方を解説していきます。

サインの表とは下記ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
このページでは、sin17°の求め方紹介です。

$$\sin 17°=0.292371…$$

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10位までsin 17°を確認

最初に、sin 17°を10桁調べてみましょう!$$\sin 17° = 0.2923717047 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin17°の値を明らかにする

三角関数表を参照せずにsin17°の値を算出するやり方は大きく3つあります。

  1. 分度器を使って17°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開を活用して解く

1の手法は、定規を使うため正確な値を求められず、求まる値は近似値になります。

2の方法だと、導出過程が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を紹介します。

マクローリン展開でsin17°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\sin x\)を明らかにすることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を代入すると\(\sin x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 17°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.296705…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 17°\)を求められます。

$$\sin 17° = 0.292371…$$

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