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三角関数表のサインの表におけるsin160°の解き方

このページでは、sin 160° = 0.34202…を電卓で計算する処理方法について解き明かしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に焦点を絞って、値の求め方を紹介していきます。

サインの表とは下記ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
この記事では、sin160°の計算方法解説です。

$$\sin 160°=0.34202…$$

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10桁のsin 160°を書いてみる

唐突ではありますが、sin 160°を10桁確認してみましょう!$$\sin 160° = 0.3420201433 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin160°の値を明らかにする

三角関数表を使わずにsin160°の値を算出する手法は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

  1. 分度器を使って160°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を活用して計算する
  3. マクローリン展開を活用して解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を求められず、答えは近似値になります。

2の方法だと、導出が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を紹介します。

マクローリン展開でsin160°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\sin x\)を求めることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を代入すると\(\sin x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開って何?って人だったとしても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 160°$$

この式を計算すると、
$弧度法=2.792526…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 160°\)を求められます。

$$\sin 160° = 0.34202…$$

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