それでは、tan 75° = 3.73205…を算出する方法について解き明かしていきます。
θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
y | 0 | \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) | 1 | \(\sqrt{3}\) | – |
この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は直角三角形から数値が算出できます。
しかし、上記以外の数字であるθ=1°だと計算するのが困難です。
そこで、tan 75° = 3.73205…になる理由を解説します。
10位目までtan 75°を表す
初めに、tan 75°を10桁書いてみましょう!$$\tan 75° = 3.7320508075\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
tan 75° = 3.73205…を計算する
tan 75° = 3.73205…を解くためにマクローリン展開を活用します。
\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}
$x$に弧度法の角度を入れて計算するとサインとコサインの値が求まります。
$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 75°=1.308996…$$ $$\sin 75° = 0.965925…$$
$$\cos 75° = 0.258819…$$
そして、$\tan 75° = \displaystyle \frac{\sin 75°}{\cos 75°}$からtanを求めることができます。
$$\tan 75° = 3.73205…$$
120秒の復習動画|tan 75°
本記事で説明した内容を120秒で確認できる動画を準備しました。
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