【三角関数のグラフ】3種類のグラフの書き方・意味を理解しよう!

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今回は三角関数のグラフについて解説していきます。

これまで三角形を相手にしてきたのに、突然グニャグニャしたグラフが出てくるのです。そのため、ここでつまずく人がとても多いのが特徴です。

トムくん
トムくん

突然現れた曲線、俺はマジで超苦戦♬

くりまろ
くりまろ

まずは慣れることが大事だよ。

しかしグラフの形はほぼワンパターンなので、分かってしまえばとても簡単!物理など他の教科でも登場してくるし、今のうちにしっかり理解しておきましょう!

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三角関数のグラフの書き方

例:sin(サイン)のグラフ

まずは、sinのグラフを例にして「なるほど、なんとなく分かった気がする。」程度に理解しましょう。

これがsinのグラフになります。

正確には\(y=\sin x\)のグラフです。

言い忘れましたが、この記事では弧度法を使用します。もし、弧度法を理解していない方がいたら「弧度法について理解しよう!」を読んでおきましょう!

 

まあ、1/3π=60°ってのが分かっていればとりあえずOKです〜!一応貼っておきますね!

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三角関数に限らずグラフを書くときの基本は、『横軸の値を変化させて、縦軸の値を求める。』です。

 

今回ならxの値を変化させて、yの値を求める。ってことになります。xの値をゼロから少しずつ大きくしていき、360°(\(2\pi\)(rad))まで大きくしていきました。

例えば、x=π/6の場合y=1/2ですよね。

もう一度グラフを見ると確かにx=π/6あたりでyが1/2になっています。

x=π(180°)の場合だと…確かにy=0に点がありますね!

要するに\(y=\sin x\)のxを少しずつ変化させてそれらを繋いでいくと、このグニャグニャグラフになるんです!

三角関数のグラフの意味

このグラフですがもちろん意味があります。

三角関数の定義を思い出してみましょう。下のような図があったとき、

$$\sin α=\frac{Y}{r}$$

でしたよね。

怪しい方はこちらの講座を読んでみてくださいな。

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角度αが変わると、点PのYの値も当然ですが変わります。sinのグラフは、このYの変化を表しているのです。

まとめると
αが変わる

点Pの位置が変わる

点PのY座標も、もちろん変わる

このときのαとYをグラフにする

と、こんなグラフになります。

ちなみに、2πになると一周するので0と等しくなりますよね?つまりここから、また全く同じグラフを書きます。

そして、永遠と同じグラフを書き続ける。
これがsinのグラフです。

cos(コサイン)のグラフ

じゃあ、コサインはどう考えたらいいの?って思いますよね。

\(\cos x\)の式はなんでしたか?\(\cos x=\frac{X}{r}\)でしたよね。

つまり、コサインってのは角度が変わることによって変化するXを見てます。

 

では、サインとコサインのグラフを見比べてみましょう!

 

同じようなグラフが少しズレているのがわかりますよね。

どれくらいズレているのか。Yが0の位置で比べるとπ/2、つまり90°ズレてます。

おや?勘の良い方は気づいたんじゃないですか?

$$\sin α=\cos (α+90°)$$

って式がありましたよね!あの頃はグラフをやっていなかったので、「覚えましょう!」って言ってましたが、これで納得できましたかな?

tan(タンジェント)のグラフ

最後はタンジェントですが、まあ正直全然大事ではありません。笑

タンジェントはサインやコサインとは形が大きく違います。と言うのも

$$\tan α=\frac{\sin α}{\cos α}=\frac{Y}{X}$$

なので、分母の値が0になる角度、π/2や3π/2が存在しません。(分母が0は数学的にありえないので)

そして、グラフはこんな感じになります。

見事にπ/2で無限に発散してますね〜

タンジェントに関しては、グラフの書き方となんとなくの形を覚えておく。書かなきゃならないときに、その場書ける!それでいいと思います。

くりまろ
くりまろ

多分書く機会はないと思うなあ。

高校の定期テストくらいかな??

三角関数のグラフの重要なポイント

三角関数のグラフの重要なポイントは、それぞれのグラフを知った上で、これまでに学んだ式がなぜ成り立つのかを確認することです!

正直、三角関数の関係式は覚えるのが多すぎます。全部覚えようとすると、符号のミスなどが多発してしまいます。

くりまろ
くりまろ

暗記には限界があるからね。

基礎的なものだけを暗記して、他はその場で導出できるようにしておく。

 

これが最強の方法です!

まあ、記憶力に相当の自信がある人は覚えてもOK!但し、+と-の符号はかなりの頻度で間違うので、本気で覚える必要がありますよ。笑

まとめ三角関数のグラフ

  • sinのグラフは角度が変化した時のYの値
  • cosのグラフは角度が変化した時のXの値
  • tanのグラフは角度が変化した時の\(\frac{Y}{X}\)

三角関数のグラフは以上です!!!

 

くりまろ
くりまろ

時間がある方は、加法定理もどうぞ!

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