加法定理の証明と覚え方を詳しく解説!

三角関数
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三角関数のなかでも、最重要と言ってもいい加法定理の覚え方とその証明です!加法定理は今後もたくさん登場しますし、本当に重要です!この記事で基本と証明の方法をしっかり抑えておきましょう。

 

少し難しい証明になりますが、いつものように分かりやすく解説しているので、最後までよろしくお願いします。

※この記事は10分程度で読めて、今後加法定理で困ることはなくなります。

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加法定理とは6つの式である

そもそも加法定理とは何でしょうか。

加法定理とは、以下の6つの式の総称です。

\(\sin(α+β)=
\sinα\cosβ+\cosα\sinβ\cdots(1)\)

\(\sin(α-β)=\sinα\cosβ-\cosα\sinβ\cdots(2)\)

\(\cos(α+β)=\cosα\cosβ-\sinα\sinβ\cdots(3)\)

\(\cos(α-β)=\cosα\cosβ+\sinα\sinβ\cdots(4)\)

$$\tan(α+β)=\frac{\tanα+\tanβ}{1-\tanα\tanβ}\cdots(5)$$

$$\tan(α-β)=\frac{\tanα-\tanβ}{1+\tanα\tanβ}\cdots(6)$$

少しごちゃごちゃしていますが、しっかり証明する公式は1つだけです!その式を変形して残り5つを証明できるのでがんばりましょう!

加法定理の証明

では加法定理を証明していきます!たった1つの式を証明してそれをいじくるだけ!

その証明する式は・・・

$$\cos(α-β)=\cosα\cosβ+\sinα\sinβ\cdots(4)$$

です!これさえ証明できればあとは式の変形なので超簡単!

 

証明は座標を用いた方法を紹介します。その他にもありますが、一番応用が効く方法かなと思いますので!

座標を用いた加法定理の証明

ステップは全部で3ステップありますが、ゆっくり読めば理解できるようになっています。では、いってみましょうー

加法定理証明|ステップ1

まずは下のような図を描きます。


ここでPとQの座標はそれぞれP(cos A, sin A), Q(cos B, sin B)となります。

すると辺PQの大きさは三平方の定理より、

$$PQ^2=(\cos α- \cos β)^2+(\sin α- \sin β)^2$$

となりますね。

加法定理証明|ステップ2

ここで余弦定理を使います!余弦定理がイマイチ・・・であれば今のうちに覚えちゃいましょう!

余弦定理を完全解説!公式の証明と使い方

10分程度で完璧になりますので、完璧にして戻ってきてください!

△OPQに余弦定理を用いますと、

$$PQ^2=p^2+q^2-2pq\cosθ$$

となりますね。

ここで\(θ=β-α\)です。

$$\cos θ=\cos (β-α)$$

となります。次にpとqの値はそれぞれ円の半径と等しいので、

$$p=q=1$$

であります。

加法定理証明3

これまで作ってきた式をまとめましょう!

  • \(PQ^2=(\cos α- \cos β)^2+(\sin α- \sin β)^2\)
  • \(PQ^2=p^2+q^2-2pq\cosθ\)
  • \(\cos θ=\cos (β-α)\)
  • \(p=q=1\)

すると、

$$(\cos α- \cos β)^2+(\sin α- \sin β)^2=p^2+q^2-2pq\cos (β-α)$$

となります。(どちらも\(PQ^2\))

左辺を展開すると、\(\cos^2 α+\sin^2 α\)と\(\cos^2 β+\sin^2 β\)が出てきます。これは、三角関数②:覚えるべき三角関数の関係公式とその証明でやった通り\(=1\)となります。

これを考慮すると左辺は、

$$(\cos α- \cos β)^2+(\sin α- \sin β)^2=2-2\cos α\cos β-2\sin α\sin β$$

になります!あと1歩!

右辺は\(p=q=1\)なので、

$$p^2+q^2-2pq\cos (β-α)=2-2\cos (β-α)$$

両辺を入れ替えて、=で結ぶと・・・

$$2-2\cos (β-α)=2-2\cos α\cos β-2\sin α\sin β$$

あとは両辺に\(-\frac{1}{2}\)をかけて・・・

$$\cos (β-α)=\cos α\cos β+\sin α\sin β$$

証明完了!

座標は苦手だけど、分かったよ!

加法定理|残り5式の証明

では、求めた式を使って6式とも証明しちゃいます!

と、その前に三角関数の基礎的な式は覚えていますか?一度復習しておきましょう。

  1. sin (-A) = -sin A
  2. cos (-A) = cos A
  3. sin (A+π/2) = cos A
  4. cos (A+π/2) = -sin A

これら4つの式を使えば、すぐに証明できるので頑張りましょう!

加法定理証明|3つ目の式

まずはこいつから!笑

$$\cos(α+β)=\cosα\cosβ-\sinα\sinβ\cdots(3)$$

さっき証明した式を見てみましょう。

$$\cos(α-β)=\cosα\cosβ+\sinα\sinβ\cdots(4)$$

この式にB=-Cを代入します。(普通はB=-Bを代入しますが、私が数学が苦手な頃、B=-Bって「=」じゃないじゃん!って思ってました。なのであえてCって別の文字を使いますね!)

これを代入すると、

cos (A-(-C)) = cos A cos(-C) + sin A sin(-C)

cos(A+C) = cos A cos C – sin A sin C

証明完了ですね。

加法定理証明|1,2 つ目の式

次は、

$$\sin(α+β)=\sinα\cosβ+\cosα\sinβ\cdots(1)$$

次はBに(C-π/2)を代入しましょう。式はさっき証明した式になります。

 

cos(A+B) = cos A cos B – sin A sin B

cos(A+(C-π/2)) = cos A cos (C-π/2) – sin A sin (C-π/2)

sin (A+C) = cos A sin C – sin A (-cos C)

sin (C+A) = sin C cos A + cos C sin A

 

よって証明完了です!!

 

ちなみにcos (A-B)の式に代入すれば2つ目の式も証明できます!

加法定理証明|5、6の式

5つ目の式の照明を下の画像に計算しました!

字が汚くてすみません・・・

タイピングするのめっちゃ大変なのです。同様にA-Bも計算して見てください。符号がひっくり返ることで6番目の式になることを確認してください!

加法定理|暗記の方法

まず左辺ですが、サインコサインタンジェントの順番で並んでいますね。中の符号は+、-、+、-・・・なので覚えるのは簡単です。

問題は右辺ですね。上から

  1. サインコス-たす-コスサイン
  2. サインコス-ひく-コスサイン
  3. コスコス-ひく-サインサイン
  4. コスコス-たす-サインサイン
  5. 語呂合わせなし!
  6. 語呂合わせなし!

となります。笑

符号は得意な1つだけを覚えて、反転したら反転させるという流れでOKです。

加法定理は覚えるべき?|まとめ

ズバリ暗記しておきましょう。

テストや受験中に図を書いて証明するのはさすがに無理があります。昔東大で証明の問題が出たそうですが・・・・

できるだけ覚えておいて、損はないでしょう。覚える方法は書きまくることです。

 

式をそのまま書きまくるのではなく、計算しまくるのがいい暗記方法です。例えばtanの証明を式変形でやりましたが、あれを3回くらい書けばOKです。

そのまま写すのではなく、計算するのがポイント!

計算途中でつまずいたら見るを繰り返しましょう〜

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