それでは、cos 90° = 0.0…を計算する手法について明らかにしていきます。
三角関数表の中のコサイン(cos)の表に注目して、値の求める方法を紹介していきます。
コサインの表とは下記のような表のことです。
角度 | 値 | 角度 | 値 |
---|---|---|---|
cos1° | 0.999847 | cos2° | 0.99939 |
cos3° | 0.998629 | cos4° | 0.997564 |
・・・ | ・・・ | ||
cos30° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | cos45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
cos60° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | cos90° | 0 |
参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
本解説では、cos90°の計算方法説明です。
$$\cos 90°=0.0…$$
10桁のcos 90°を表す
初めに、cos 90°を10桁表してみましょう!$$\cos 90° = 0.0 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
cos90°の値を明らかにする
三角関数表を使用せずにcos90°の値を算出する方法は大きく3つあります。
1の手法は、定規を使うため正確な値を求められず、答えは近似値になります。
2の手法だと、導出がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を説明します。
マクローリン展開でcos90°を求める
マクローリン展開より、下記の式で\(\cos x\)を計算することができます。
$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)から\(\cos x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かればOKですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 90°$$
この式を計算すると、
$弧度法=1.570796…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 90°\)を求められます。
$$\cos 90° = 0.0…$$
コメント