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三角関数表のコサインの表におけるcos100°の解き方

本解説では、cos 100° = -0.173649…を計算するやり方について共有します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に着目して、値の求め方を明らかにしていきます。

コサインの表とは下記のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
今回は、cos100°の計算の仕方紹介です。

$$\cos 100°=-0.173649…$$

目次

10桁のcos 100°を確認

早速ですが、cos 100°を10桁確認してみましょう!$$\cos 100° = -0.1736481777 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos100°の値を求める

三角関数表を使わずにcos100°の値を求める手法はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を使って100°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1の手法は、定規を使うため正確な値を求められず、求まる値は近似値になります。

2のやり方だと、導出がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を紹介します。

マクローリン展開でcos100°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\cos x\)を計算することができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を代入すると\(\cos x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開って何?って人だったとしても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 100°$$

この式を計算すると、
$弧度法=1.745329…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 100°\)を求められます。

$$\cos 100° = -0.173649…$$

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