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三角関数表のコサインの表におけるcos86°を求める方法

今回は、cos 86° = 0.069756…を三角関数表を使わずに求める方法について共有します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に注目して、値の計算の仕方を紹介していきます。

コサインの表とはこのような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
この記事では、cos86°の算出方法解説です。

$$\cos 86°=0.069756…$$

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10位までcos 86°を書いてみる

まずは、cos 86°を10桁確認してみましょう!$$\cos 86° = 0.0697564737 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos86°の値を計算する

三角関数表を参照せずにcos86°の値を算出するやり方は大きく3つあります。

  1. 分度器用いて86°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を使って計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1のやり方は、定規を使うため正確な値を算出できず、出てくる値は近似値になります。

2の手法だと、計算がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を紹介します。

マクローリン展開でcos86°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\cos x\)を明らかにすることができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)が分かれば\(\cos x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 86°$$

この式を計算すると、
$弧度法=1.500983…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 86°\)を求められます。

$$\cos 86° = 0.069756…$$

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