【数学的帰納法】簡単な解説!理解して使いこなそう【犬が解説】

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数学的帰納法について説明します。
具体的には、
  1. 数学的帰納法とは何か
  2. 数学的帰納法の仕組み
  3. 数学的帰納法の使い方
の3つになります。
トムくん
トムくん

数学的帰納法って名前からして難しそうじゃん。

くりまろ
くりまろ

うん、正直簡単ではないねー。でも仕組みを理解して練習すれば、すぐに使いこなせるようになるから、一緒にがんばろう!!

トムくん
トムくん

簡単じゃないのか、やだなぁ 笑

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数学的帰納法とは

数学的帰納法とは、ある式が全ての自然数で成り立つことを証明する方法です。
トムくん
トムくん

ん???笑

例えば、
nが自然数のとき、\(n^3+2n\)は3で割り切れることを証明せよ。
という問題で、nが全ての自然数で成り立つことを証明できる方法になります。
トムくん
トムくん

自然数って1, 2, 3, ···だよね?全部証明するの!?

くりまろ
くりまろ

全部は証明しないよ。2つのことを証明するだけで、全部証明できちゃうんだ!その仕組みについて見ていこうー!

数学的帰納法の仕組み

くりまろ
くりまろ

数学的帰納法は連鎖的に、全ての自然数で成り立つことを証明するよ。

トムくん
トムくん

ちょっと何を言ってるのか??笑

数学的帰納法は、たった2つのステップで証明するものです。

POINT

STEP1
n=1が成り立つことを証明する。
STEP2
n=kか成り立つと仮定したとき、n=k+1が成り立つことを証明する。
トムくん
トムくん

よく分からないけど、これだけ?

そうです。特に重要なのはステップ2です。n=kが成り立つと仮定したとき、n=k+1が成り立つことを証明します。
すると、n=1さえ証明できれば連鎖的に全ての自然数で成り立つのです。
くりまろ
くりまろ
n=1を証明(ステップ1)
n=1が成り立つならn=2もok(ステップ2)
n=2が成り立つならn=3もok(ステップ2)
n=3が成り立つならn=4もok(ステップ2)
って感じでどこまでも成り立つよ!
トムくん
トムくん

おおおー!なるほどこれはスゴイー!

くりまろ
くりまろ

じゃあ例題を解きながら使い方を理解しようね。ここから先は黒い文字と赤い文字を使うけど、黒い文字が解答、赤い文字が解説だよ。

数学的帰納法の使い方

例題
nが自然数のとき、\(n^3+2n\)は3で割り切れることを証明せよ。
解答
数学的帰納法で証明する。
これは必要!自己紹介みたいな感じ!
(i)n=1のとき
$$1^3+2\times1=3$$
となり、3で割り切れる。
まずは\(n=1\)のときの証明をします。
(ii)n=kで成り立つと仮定する。n=k+1のとき
これはつまり、\(n^3+2n\)が3で割り切れるとき、\((k+1)^3+2(k+1)\)が3で割り切れることを証明するよ!
$$\begin{align}
与式 &= (k+1)^3+2(k+1)\\
&= k^3+3k^2+3k+1+2k+2\\
&= k^3+2k+3(k^2+k+1)
\end{align}$$
仮定より、\(k^3+2k\)は3で割り切れるため、\(n=k+1\)のときに\(n^3+2n\)は3で割り切れる。
以上(i)(ii)より、nが自然数のとき、\(n^3+2n\)は3で割り切れる。
くりまろ
くりまろ

これが解答だよ。

トムくん
トムくん

ムッズ!!!

くりまろ
くりまろ

難しいよね。数学的帰納法は練習あるのみだから、ここで理解したことを使ってバンバン解いていくしかないよ!10問もすれば完璧になるよ!

トムくん
トムくん

3問くらいはがんばろうかね・・・

まとめ(数学的帰納法)

まとめです。

POINT

  • 数学的帰納法は全ての自然数で成り立つことを証明する方法
  • STEPは2つあるよ
  • 使いこなすには練習あるのみ!!
くりまろ
くりまろ

さあ、トムくん!いっぱい練習しよう。

 

コメント