【数列】等比数列の和の証明【ずらして引くだけ!】

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今回は等比数列の和の証明をしていきます!

 

POINT等比数列の和
初項a、公比rの等比数列の初項から第n項までの和\(S_n\)は
$$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\quad(r\neq1)$$
$$S_n=na\quad(r=1)$$

 

 

くりまろ
くりまろ

この式の証明だけど、やり方さえ分かれば超簡単だよ!

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等差数列の和の証明

等差数列の和を\(S_n\)とする。

$$S_n=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}  (1)$$

 

(1)の両辺に公比rを掛けます。

$$rS_n=ar+ar^2+ar^3\cdots+ar^{n-1}+ar^n  (2)$$

 

ここで、\((1)-(2)\)を計算します。

くりまろ
くりまろ

ずらして引くことで、\(aとar^n\)だけが残ることが分かるね!

結果、以下の式となります。

 

$$\begin{eqnarray}S_n-rS_n&=&a+ar^n
\\S_n(1-r)&=&a(1-r^{n-1})
\\S_n&=&\frac{a(1-r^n)}{1-r}\end{eqnarray}$$

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