犬と学べる等比数列|一般項や等比数列の和の証明

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ここでは等比数列の一般項と和について解説していきます。等比数列とは何かを説明した後に、一般項と等比数列の和の証明を行いますよ!

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等比数列とは

等比数列とは、一定の比を保っている数列のことです。
例えば、3、6、12、24、48なんかが等比数列です。
初項の3から順に2が掛けられていってます。

くりまろ
くりまろ

ある数aから順に一定の数rが掛けられていく数列を等比数列って言うよ。

トムくん
トムくん

等差数列の掛け算バージョンってことね!

くりまろ
くりまろ

おお!その通り!上の数列で言えばある数aは3で、一定の数rは2になるね。

文字を使って表すと
$$a, ar, ar^2, ar^3, \cdots, ar^n$$
のようになります。数字を入れるとこんな感じ。$$3, 3 \times 2, 3×2^2, \cdots, 3 \times 2^n$$

ここでaを初項rを公比と呼びます。

等比数列の一般項

では、等比数列の一般項を考えてみましょう。

トムくん
トムくん

第n項をnの式で表すあれね!(ドヤッ!!)

くりまろ
くりまろ

おー!その通りだよ。

初項a、公比rの等比数列の一般項
$$a_n=ar^{n-1}$$

さっきの例で見てみると、初項a=3、公比r=2だから一般項は
$$a_n=3*2^{n-1}$$
となります。

くりまろ
くりまろ

等差数列と一緒で、この式に証明は特にないけど、初項に公比rがどんどん掛けられていくからこの式になるよ。

トムくん
トムくん

ん?n-1なのはなんでだっけ??

くりまろ
くりまろ

初項の分を引いているからだよ。第二項なら\(ar\)で第三項は\(ar^2\)でしょ。
だから、第n項は\(ar^{n-1}\)になるよ。

トムくん
トムくん

あ!そうだった。初項は公比がかかってないもんね。

等比数列の和

次に等比数列の和について考えてみましょう。

等比数列の初項から第n項までの和を求めます。

トムくん
トムくん

等差数列は理解できたけど、大丈夫かなあ。

等比数列の和
初項a、公比rの等比数列の初項から第n項までの和\(S_n\)は
$$S_n=frac{a(1-r^n)}{1-r}\quad(r\neq1)$$
$$S_n=na\quad(r=1)$$

と、なります。rが1かそれ以外かで変わる点に注意しておきましょう!

くりまろ
くりまろ

証明は↓の画像をクリックして拡大して確認してね!

ちなみに上の例、初項3、公比2の等比数列だと
$$S_n=\frac{3(1-2^n)}{-2}=\frac{3*2^n-3}{2}$$
になります。

今回は以上です!

くりまろ
くりまろ

公式は今の段階では暗記しなくていいからね!
必要な時に引き出せるように準備して、ガンガン先に進みましょう!

トムくん
トムくん

暗記する気は無いから大丈夫!笑

それでは次回はいろいろな数列の和!少し難しいけど頑張りましょう!

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