\(Sin^{-1}x\)(アークサイン)の微分$$(Sin^{-1}x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
逆三角関数であるアークサインですが、これを微分するのは少しテクニックがいります。そこでこの解説では、簡単にできるアークサインの微分の方法を紹介します!
今回使用するテクニックは逆関数の微分法です!
逆関数の微分法$$g'(x)=\frac{1}{f'(y)} (※ただしf'(y) \neq 0)$$
≫逆関数の微分について詳しい解説!【逆関数の例も記載】≪
まずは、合成関数の微分法で微分してみて、次に逆関数の微分法を使って、どれくらい楽になるか実感しましょう!
※逆三角関数の参考記事
アークサインの微分
$$y=Sin^{-1}x$$
とすると、これは逆三角関数なので
$$x=\sin y \dots(1)$$
と同じ意味になります。ここで(1)式の両辺をxで微分します。
$$\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}x &=& \frac{d}{dx}\sin y \\
1 &=& \frac{d}{dy}\sin y\frac{dy}{dx}(合成関数の微分法)\\
1 &=& \cos y \frac{dy}{dx}\\
\end{eqnarray}$$
となります。つまり
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y} (※ただし\cos y \neq 0)$$
となります。これで微分完了に見えますが、\(\cos y\)には\(y\)が使われています。このままでは微分完了とは言えません。そこで、変形して\(x\)の関数にします。
cos yを変形する
\(\cos y\)を変形するために、少しだけテクニックを使います。
具体的にはこの公式。この公式を\(\cos y=\)の形にしてやると・・・
$$\cos y=\sqrt{1-\sin^2 y}$$
さらに最初に示した通り、
$$y=Sin^{-1}x \leftrightarrow x=\sin y$$
なので、\(\sin y\)に\(x\)を代入しちゃいます!ここで今までの変形をまとめると・・・
$$\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx}&=& \frac{1}{\cos y} \\
&=& \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}}\\
&=& \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\end{eqnarray}$$
ようやく微分完了です!
\(Sin^{-1}x\)(アークサイン)の微分$$(Sin^{-1}x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
次に逆関数の微分法を使ってみて、どれくらい楽になるか確認してみましょう!
arcsinの微分|逆関数の微分法
逆関数の微分法$$g'(x)=\frac{1}{f'(y)} (※ただしf'(y) \neq 0)$$
≫逆関数の微分について詳しい解説!【逆関数の例も記載】≪
ここで\(g(x)=Sin^{-1}x\)、\(f(y)=\sin y\)です!
$$y=g(x) \leftrightarrow x=f(y)$$
POINTの式を使って計算すると
$$g'(x)=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{\cos y}$$
ってことです。あとは\(\cos y\)を同じように変形すればいいだけです。
$$\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx}&=& \frac{1}{\cos y} \\
&=& \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}}\\
&=& \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\end{eqnarray}$$
この方法であれば、合成関数の微分法なんかを使わなくてもできるので楽ですね!
さいごに|アークサイン(arcsin)の微分
3種類ある逆三角関数ですが、その他の微分のも求め方はほとんど同じです。求め方は大きく2種類あります。
- 合成関数の微分法を使う
- 逆関数の微分法を使う
です。
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