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三角関数表のサインの表におけるsin214°を導出する

それでは、sin 214° = -0.559193…を電卓で計算する処理方法について解き明かしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に注目して、値の計算方法を紹介していきます。

サインの表とは下ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
このページでは、sin214°の計算方法説明です。

$$\sin 214°=-0.559193…$$

目次

sin 214°を10桁表す

最初に、sin 214°を10桁確認してみましょう!$$\sin 214° = -0.5591929035 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin214°の値を明らかにする

三角関数表を活用せずにsin214°の値を解くやり方は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

  1. 分度器を使用して214°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を使って計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を算出できず、求まる値は近似値になります。

2の手法だと、途中の計算が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を解説します。

マクローリン展開でsin214°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\sin x\)を求めることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)が分かれば\(\sin x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 214°$$

この式を計算すると、
$弧度法=3.735004…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 214°\)を求められます。

$$\sin 214° = -0.559193…$$

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