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三角関数表のサインの表におけるsin229°の導出

このページでは、sin 229° = -0.75471…を求める手法について明らかにしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に光を当てて、値の計算方法を紹介していきます。

サインの表とは下ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
今回は、sin229°の求める方法解説です。

$$\sin 229°=-0.75471…$$

目次

sin 229° を10桁書いてみる

最初に、sin 229°を10桁表してみましょう!$$\sin 229° = -0.7547095803 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin229°の値を明らかにする

三角関数表を参照せずにsin229°の値を算出するやり方は大きく3つあります。

  1. 分度器用いて229°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を駆使して計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1の手法は、定規を使うため正確な値を算出できず、答えは近似値になります。

2の手法だと、途中の計算がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を説明します。

マクローリン展開でsin229°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\sin x\)を計算することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を代入すると\(\sin x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 229°$$

この式を計算すると、
$弧度法=3.996803…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 229°\)を求められます。

$$\sin 229° = -0.75471…$$

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