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三角関数表のサインの表におけるsin204°|マクローリン展開で解く

本解説では、sin 204° = -0.406737…を求めるやり方について解き明かしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に光を当てて、値の計算方法を紹介していきます。

サインの表とは下記ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
このページでは、sin204°の求め方解説です。

$$\sin 204°=-0.406737…$$

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sin 204°を10桁表す

唐突ではありますが、sin 204°を10桁調べてみましょう!$$\sin 204° = -0.4067366431 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin204°の値を算出する

三角関数表を使用せずにsin204°の値を求めるやり方は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

  1. 分度器を活用して204°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開を活用して解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を算出できず、答えは近似値になります。

2の方法だと、計算過程がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を解説します。

マクローリン展開でsin204°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\sin x\)を算出することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を使うと\(\sin x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 204°$$

この式を計算すると、
$弧度法=3.560471…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 204°\)を求められます。

$$\sin 204° = -0.406737…$$

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