三角関数表のサインの表におけるsin236°｜マクローリン展開で解く

それでは、sin 236° = -0.829038…を三角関数表を使わずに求める手法について解き明かしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に焦点を絞って、値の計算方法を紹介していきます。

サインの表とはこのような表のことです。

角度	値	角度	値
sin1°	0.017452	sin2°	0.034899
sin3°	0.052335	sin4°	0.069756
・・・		・・・
sin30°	$\displaystyle \frac{1}{2}$	sin45°	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	sin90°	1

教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
今回は、sin236°の算出方法説明です。

$$\sin 236°=-0.829038…$$

10桁のsin 236°を表す

唐突ではありますが、sin 236°を10桁表してみましょう！$$\sin 236° = -0.8290375726 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin236°の値を解く

三角関数表を確認せずにsin236°の値を算出するやり方はとても複雑なものを除けば3つあります。

1のやり方は、定規を使うため正確な値を算出できず、答えは近似値になります。

2の手法だと、計算がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を解説します。

マクローリン展開でsin236°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\sin x\)を解くことができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を使うと\(\sin x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 236°$$

この式を計算すると、
$弧度法=4.118977…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 236°\)を求められます。

$$\sin 236° = -0.829038…$$