三角関数表のサインの表におけるsin242°の導出

本解説では、sin 242° = -0.882948…を三角関数表を使わずに求める方法について解説していきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表について、値の求める方法を明らかにしていきます。

サインの表とは下記ののような表のことです。

角度	値	角度	値
sin1°	0.017452	sin2°	0.034899
sin3°	0.052335	sin4°	0.069756
・・・		・・・
sin30°	$\displaystyle \frac{1}{2}$	sin45°	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	sin90°	1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
本解説では、sin242°の算出方法説明です。

$$\sin 242°=-0.882948…$$

10桁のsin 242°を書いてみる

早速ですが、sin 242°を10桁表してみましょう！$$\sin 242° = -0.8829475929 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin242°の値を求める

三角関数表を使わずにsin242°の値を算出するやり方は3つあります。

1のやり方は、定規を使うため正確な値を計算できず、答えは近似値になります。

2のやり方だと、計算が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を説明します。

マクローリン展開でsin242°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\sin x\)を計算することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を使うと\(\sin x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 242°$$

この式を計算すると、
$弧度法=4.223696…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 242°\)を求められます。

$$\sin 242° = -0.882948…$$