三角関数表のサインの表におけるsin248°の解き方

本解説では、sin 248° = -0.927184…を三角関数表を使わずに求める手法について解き明かしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に注目して、値の算出方法を説明していきます。

サインの表とはこのような表のことです。

角度	値	角度	値
sin1°	0.017452	sin2°	0.034899
sin3°	0.052335	sin4°	0.069756
・・・		・・・
sin30°	$\displaystyle \frac{1}{2}$	sin45°	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	sin90°	1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
本解説では、sin248°の算出方法解説です。

$$\sin 248°=-0.927184…$$

10桁のsin 248°を確認

早速ですが、sin 248°を10桁確認してみましょう！$$\sin 248° = -0.9271838546 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin248°の値を計算する

三角関数表を使用せずにsin248°の値を解くやり方は大きく3つあります。

1の手法は、定規を使うため正確な値を算出できず、求まる値は近似値になります。

2の方法だと、導出過程が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を説明します。

マクローリン展開でsin248°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\sin x\)を算出することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を使うと\(\sin x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 248°$$

この式を計算すると、
$弧度法=4.328416…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 248°\)を求められます。

$$\sin 248° = -0.927184…$$