三角関数表のサインの表におけるsin309°を導出する

このページでは、sin 309° = -0.777146…を電卓で計算する仕方について解き明かしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表について、値の計算の仕方を説明していきます。

サインの表とは下ののような表のことです。

角度	値	角度	値
sin1°	0.017452	sin2°	0.034899
sin3°	0.052335	sin4°	0.069756
・・・		・・・
sin30°	$\displaystyle \frac{1}{2}$	sin45°	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	sin90°	1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
本解説では、sin309°の計算の仕方説明です。

$$\sin 309°=-0.777146…$$

sin 309° を10桁表す

早速ですが、sin 309°を10桁書いてみましょう！$$\sin 309° = -0.7771459615 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin309°の値を解く

三角関数表を使用せずにsin309°の値を解く手法は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

1のやり方は、定規を使うため正確な値を求められず、出てくる値は近似値になります。

2の方法だと、計算過程がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を紹介します。

マクローリン展開でsin309°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\sin x\)を計算することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を代入すると\(\sin x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 309°$$

この式を計算すると、
$弧度法=5.393067…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 309°\)を求められます。

$$\sin 309° = -0.777146…$$