三角関数表のサインの表におけるsin316°｜マクローリン展開で解く

それでは、sin 316° = -0.694659…を三角関数表を使わずに求めるやり方について共有します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に光を当てて、値の計算の仕方を説明していきます。

サインの表とは下ののような表のことです。

角度	値	角度	値
sin1°	0.017452	sin2°	0.034899
sin3°	0.052335	sin4°	0.069756
・・・		・・・
sin30°	$\displaystyle \frac{1}{2}$	sin45°	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	sin90°	1

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
本解説では、sin316°の計算方法説明です。

$$\sin 316°=-0.694659…$$

10桁のsin 316°を確認

唐突ではありますが、sin 316°を10桁調べてみましょう！$$\sin 316° = -0.6946583705 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin316°の値を求める

三角関数表を参照せずにsin316°の値を算出する手法はとても複雑なものを除けば3つあります。

1のやり方は、定規を使うため正確な値を求められず、答えは近似値になります。

2のやり方だと、導出がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を紹介します。

マクローリン展開でsin316°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\sin x\)を解くことができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を使うと\(\sin x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開って何？って人だったとしても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 316°$$

この式を計算すると、
$弧度法=5.51524…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 316°\)を求められます。

$$\sin 316° = -0.694659…$$