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三角関数表のサインの表におけるsin154°の求め方

このページでは、sin 154° = 0.438371…を電卓で計算するやり方について明らかにしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に光を当てて、値の算出方法を解説していきます。

サインの表とはこのような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
このページでは、sin154°の計算方法紹介です。

$$\sin 154°=0.438371…$$

目次

10桁のsin 154°を調べる

初めに、sin 154°を10桁表してみましょう!$$\sin 154° = 0.4383711467 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin154°の値を算出する

三角関数表を参照せずにsin154°の値を求める手法は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

  1. 分度器を使用して154°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開に値を代入して解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を算出できず、答えは近似値になります。

2のやり方だと、導出が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を説明します。

マクローリン展開でsin154°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\sin x\)を計算することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)が分かれば\(\sin x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 154°$$

この式を計算すると、
$弧度法=2.687807…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 154°\)を求められます。

$$\sin 154° = 0.438371…$$

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