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三角関数表のコサインの表におけるcos99°を導出する

このページでは、cos 99° = -0.156435…を計算するやり方について明らかにしていきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表について、値の求める方法を明らかにしていきます。

コサインの表とはこのような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

教科書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
このページでは、cos99°の計算の仕方説明です。

$$\cos 99°=-0.156435…$$

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10桁のcos 99°を表す

唐突ではありますが、cos 99°を10桁調べてみましょう!$$\cos 99° = -0.1564344651 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos99°の値を解く

三角関数表を使わずにcos99°の値を算出する手法は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

  1. 分度器用いて99°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開に値を代入して解く

1のやり方は、定規を使うため正確な値を計算できず、出てくる値は近似値になります。

2の手法だと、計算が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を紹介します。

マクローリン展開でcos99°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\cos x\)を計算することができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を使うと\(\cos x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 99°$$

この式を計算すると、
$弧度法=1.727875…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 99°\)を求められます。

$$\cos 99° = -0.156435…$$

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