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三角関数表のサインの表におけるsin130°の導出

今回は、sin 130° = 0.766044…を算出するやり方について共有します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に焦点を絞って、値の計算方法を解説していきます。

サインの表とは下記ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
本解説では、sin130°の算出方法説明です。

$$\sin 130°=0.766044…$$

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10位までsin 130°を書いてみる

唐突ではありますが、sin 130°を10桁確認してみましょう!$$\sin 130° = 0.7660444431 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin130°の値を明らかにする

三角関数表を確認せずにsin130°の値を求める方法は3つあります。

  1. 分度器用いて130°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を使って計算する
  3. マクローリン展開を活用して解く

1のやり方は、定規を使うため正確な値を求められず、求まる値は近似値になります。

2の手法だと、導出過程がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を解説します。

マクローリン展開でsin130°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\sin x\)を明らかにすることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)から\(\sin x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 130°$$

この式を計算すると、
$弧度法=2.268928…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 130°\)を求められます。

$$\sin 130° = 0.766044…$$

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