\(\cos x\)の微分$$(\cos x)’=-\sin x$$
\(\sin x\)の微分は\(\cos x\)になります。しかし、\(\cos x\)を微分するとなぜか\(-\sin x\)になってしまいます。
この記事では、その理由を\(\cos x\)を定義の式で微分することで、明らかにします。
\(\cos x\)の微分をする際には加法定理を利用して計算する場面があります。
式を忘れていても、上記の式が分かれば問題なく読めるので安心してください!
cos xの微分
まずは定義の式に当てはめて、展開し、加法定理を使って計算します。
微分の定義の式は、(1)です。
\begin{eqnarray}f'(x) = \frac{ df }{ dx } = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ f(x + \Delta x) – f(x) }{ \Delta x }\cdots(1)\end{eqnarray}
ここで、$f(x)=\cos x$とすると、定義の式は(2)になります。
$$\begin{eqnarray}f'(x) &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\cos (x+\Delta x) – \cos x }{ \Delta x }\cdots(2)\\
\end{eqnarray}$$
あとは定義式を計算していきます。
加法定理を利用して計算
加法定理を利用すると定義の式は下記のように計算でき、\(\cos x\)を微分することができます。
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\cos (x+\Delta x )- \cos x }{ \Delta x }\\\\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\cos x \cos \Delta x-\sin x\sin\Delta x – \cos x }{ \Delta x }\\\\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \left( \cos x\frac{\cos \Delta x – 1}{ \Delta x }-\sin x\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\right)\\\\
ここで、 &&\Delta x\to 0で\displaystyle \frac{\cos \Delta x – 1}{ \Delta x }\to 0\\\\
&&\Delta x\to 0で\displaystyle \frac{\sin \Delta x }{ \Delta x }\to 1なので\\\\
&=&\cos x\cdot 0-\sin x\cdot 1\\\\
&=& -\sin x\\
\end{eqnarray}
\(\Delta x\to 0で\displaystyle \frac{\sin \Delta x }{ \Delta x }\to 1\)については下記で詳細な解説をしています。
詳しい解説≫sin(サイン)を微分する!【図で分かる解説】≪
コサインの微分|まとめ
加法定理が分かれば、そこまで難しくない計算です。
しかし、以下の式は超重要です。
$$\lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\sin\Delta x }{ \Delta x }=1$$
サインの微分で登場する式なので、ついでに理解しておくといいでしょう。
詳しい解説≫sin(サイン)を微分する!【図で分かる解説】≪
三角関数の積分公式を1記事にまとめた解説もありますので、よかったらご利用ください!
>>【公式】三角関数の積分30選<<
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