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三角関数表のコサインの表におけるcos13°を解く

この記事では、cos 13° = 0.97437…を算出する方法について説明します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に光を当てて、値の求める方法を紹介していきます。

コサインの表とはこのような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

教科書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
今回は、cos13°の計算の仕方紹介です。

$$\cos 13°=0.97437…$$

目次

10桁のcos 13°を調べる

唐突ではありますが、cos 13°を10桁表してみましょう!$$\cos 13° = 0.9743700647 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos13°の値を求める

三角関数表を活用せずにcos13°の値を求める手法は3つあります。

  1. 分度器を活用して13°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開に弧度法の角度を代入して求める

1の方法は、定規を使うため正確な値を算出できず、求まる値は近似値になります。

2の手法だと、導出が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を紹介します。

マクローリン展開でcos13°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\cos x\)を解くことができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を代入すると\(\cos x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 13°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.226892…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 13°\)を求められます。

$$\cos 13° = 0.97437…$$

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