三角関数表のコサインの表におけるcos18°を解く

このページでは、cos 18° = 0.951056…を算出する手法について説明します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に焦点を絞って、値の計算方法を紹介していきます。

コサインの表とはこのような表のことです。

参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
今回は、cos18°の算出方法紹介です。

$$\cos 18°=0.951056…$$

cos 18° を10桁表す

早速ですが、cos 18°を10桁調べてみましょう！$$\cos 18° = 0.9510565162 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

三角関数表を使わずにcos18°の値を求める手法はとても複雑なものを除けば3つあります。

1の手法は、定規を使うため正確な値を計算できず、答えは近似値になります。

2のやり方だと、計算過程が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。

マクローリン展開から、下記の式で$\cos x$を明らかにすることができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、$\cos x$の$x$から$\cos x$の値を計算することができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。

ただし注意点として$x$には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 18°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.314159…$となります。

この値をマクローリン展開の$x$に代入すると、$\cos 18°$を求められます。

$$\cos 18° = 0.951056…$$