今回は、sin 155° = 0.422618…を電卓で計算する手法について説明します。
三角関数表の中のサイン(sin)の表に注目して、値の計算方法を紹介していきます。
サインの表とは下ののような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| sin1° | 0.017452 | sin2° | 0.034899 |
| sin3° | 0.052335 | sin4° | 0.069756 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| sin30° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | sin45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| sin60° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | sin90° | 1 |
教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
本解説では、sin155°の計算の仕方説明です。
$$\sin 155°=0.422618…$$
10桁のsin 155°を表す
初めに、sin 155°を10桁表してみましょう！$$\sin 155° = 0.4226182617 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
sin155°の値を解く
三角関数表を確認せずにsin155°の値を解く方法は3つあります。
1の方法は、定規を使うため正確な値を計算できず、答えは近似値になります。
2のやり方だと、計算過程がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を説明します。
マクローリン展開でsin155°を求める
マクローリン展開より、下記の式で\(\sin x\)を求めることができます。
$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)から\(\sin x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かればOKですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 155°$$
この式を計算すると、
$弧度法=2.70526…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 155°\)を求められます。
$$\sin 155° = 0.422618…$$
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