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三角関数表のタンジェント表におけるtan78°|マクローリン展開で解く

今回は、tan 78° = 4.70463…を三角関数表を使わずに求める方法について共有します。

θ30°45°60°90°
y0\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\)1\(\sqrt{3}\)

この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は直角三角形から数値が算出できます。
一方で、 θ=1°だと求めるのが難しいです。

そこで、tan 78° = 4.70463…となる計算について紹介します。

目次

10桁のtan 78°を調べる

早速ですが、tan 78°を10桁調べてみましょう!$$\tan 78° = 4.7046301094\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 78° = 4.70463…を計算する

tan 78° = 4.70463…を解くためにマクローリン展開を活用します。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を入れるとサインとコサインの値が求まります。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 78°=1.361356…$$ $$\sin 78° = 0.978147…$$
$$\cos 78° = 0.207911…$$

この2つの値を使うことで、$\tan 78° = \displaystyle \frac{\sin 78°}{\cos 78°}$からtanを求めることができます。

$$\tan 78° = 4.70463…$$

120秒で振り返るtan 78°

このページで紹介した内容を120秒で確認できる動画を用意しました。

https://youtu.be/#NAME?

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