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三角関数表のサインの表におけるsin219°を解く

このページでは、sin 219° = -0.629321…を電卓で計算する処理方法について共有します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に注目して、値の求め方を解説していきます。

サインの表とはこのような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
本解説では、sin219°の求める方法説明です。

$$\sin 219°=-0.629321…$$

目次

10位までsin 219°を表す

まずは、sin 219°を10桁書いてみましょう!$$\sin 219° = -0.6293203911 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin219°の値を解く

三角関数表を活用せずにsin219°の値を計算する方法はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を使って219°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開に値を代入して解く

1の手法は、定規を使うため正確な値を求められず、出てくる値は近似値になります。

2の手法だと、途中の計算が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を紹介します。

マクローリン展開でsin219°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\sin x\)を明らかにすることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)によって、\(\sin x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 219°$$

この式を計算すると、
$弧度法=3.822271…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 219°\)を求められます。

$$\sin 219° = -0.629321…$$

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