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三角関数表のサインの表におけるsin234°の導出

この記事では、sin 234° = -0.809017…を算出するやり方について共有します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に着目して、値の求める方法を紹介していきます。

サインの表とは下ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
この記事では、sin234°の計算方法解説です。

$$\sin 234°=-0.809017…$$

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10位までsin 234°を書いてみる

唐突ではありますが、sin 234°を10桁調べてみましょう!$$\sin 234° = -0.8090169944 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin234°の値を解く

三角関数表を使用せずにsin234°の値を解く方法は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

  1. 分度器を活用して234°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を活用して計算する
  3. マクローリン展開を活用して解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を計算できず、答えは近似値になります。

2の方法だと、導出が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を紹介します。

マクローリン展開でsin234°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\sin x\)を計算することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)によって、\(\sin x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 234°$$

この式を計算すると、
$弧度法=4.08407…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 234°\)を求められます。

$$\sin 234° = -0.809017…$$

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