それでは、tan 259° = 5.144554…を三角関数表を使わずに求める仕方について解き明かしていきます。
| θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| y | 0 | \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) | 1 | \(\sqrt{3}\) | – |
この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は直角三角形から数値が計算できます。
しかし、中途半端なθ=1°だとタンジェントの計算が難しいです。
そこで、tan 259° = 5.144554…を計算する方法を説明します。
10位目までtan 259°を確認
早速ですが、tan 259°を10桁表してみましょう！$$\tan 259° = 5.1445540159\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
tan 259° = 5.144554…を算出する
tan 259° = 5.144554…を解くためにマクローリン展開を使います。
\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}
$x$に弧度法の角度を入れて計算するとサインとコサインの値が出ます。
$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 259°=4.520402…$$ $$\sin 259° = -0.981628…$$
$$\cos 259° = -0.190809…$$
これを利用して、$\tan 259° = \displaystyle \frac{\sin 259°}{\cos 259°}$からtanを求められます。
$$\tan 259° = 5.144554…$$
tan 259°の解説動画
この記事で明らかにした内容を120秒で復習できる動画を作りました！よかったら、参考にしてください！
(誠意作成中)
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