【微分】関数の積の導関数|公式と証明を解説【工学博士監修】

今回は関数の積を微分する公式について解説します。
具体的には下記の式を証明して、使い方を解説していきます!

$$\{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\cdots(1)$$

$$(f_1 f_2 f_3)’=f’_1 f_2 f_3+f_1f’_2 f_3+ f_1f_2f’_3\cdots(2)$$

まずは(1)、(2)の公式を証明して、後半で例題を通して使い方を解説していきます。

トムソン
トムソン

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関数の積の導関数|公式の証明

では下記の微分公式を証明していきます。

$$\{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\cdots(1)$$

(はみ出した式はスクロールできます!)


\(y=f(x)g(x)\)とすると、\(x\)が\(Δx\)だけ増えた時の\(y\)の増分\(Δy\)は下記の通り表すことができる。

\begin{eqnarray}
Δy &=& f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x) \\\\
&=& f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x)+f(x)g(x+Δx)-f(x)g(x+Δx)\\\\
&=& f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x+Δx)+f(x)g(x+Δx)-f(x)g(x)\\\\
&=&\{f(x+Δx)-f(x)\}g(x+Δx)+f(x)\{g(x+Δx)-g(x)\}
\end{eqnarray}

導関数を求める公式に、\(Δy\)を代入すると下記のように表せる。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx}&=&\displaystyle \lim_{Δx \to 0}\displaystyle \frac{Δy}{Δx} \\\\
&=&\displaystyle \lim_{Δx \to 0}\displaystyle \frac{\{f(x+Δx)-f(x)\}g(x+Δx)+f(x)\{g(x+Δx)-g(x)\}}{Δx} \end{eqnarray}

ここで、\(Δx \to 0\)のとき、

\begin{eqnarray}
g(x+Δx) &\to& g(x) \\\\
\displaystyle \frac{f(x+Δx)-f(x)}{Δx}&\to&f'(x)\\\\
\displaystyle \frac{g(x+Δx)-g(x)}{Δx}&\to&g'(x)\\\\
\end{eqnarray}

である。

以上より、

\begin{eqnarray}
& &\displaystyle \lim_{Δx \to 0}\displaystyle \frac{\{f(x+Δx)-f(x)\}g(x+Δx)+f(x)\{g(x+Δx)-g(x)\}}{Δx}\\\\
&=& f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \end{eqnarray}

となる。


(1)の証明は以上です!
(2)の証明に移ります。

3つの関数の積の導関数|公式の証明

では下記の微分公式を証明していきます。

$$(f_1 f_2 f_3)’=f’_1 f_2 f_3+f_1f’_2 f_3+ f_1f_2f’_3\cdots(2)$$

(はみ出した式はスクロールできます!)


\(\{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)を利用すると、下記の通り微分できる。

\begin{eqnarray}
(f_1 f_2 f_3)’
&=& \{(f_1 f_2)f_3\}’ \\
&=& (f_1f_2)’f_3+(f_1f_2)f’_3\\
&=&(f’_1f_2+f_1f’_2)f_3+(f_1f_2)f’_3\\
&=&f’_1 f_2 f_3+f_1f’_2 f_3+ f_1f_2f’_3 \end{eqnarray}


証明は以上です!

ここからは使い方の例を紹介していきましょう!

関数の積の導関数|例題

【例題1】

\(y=(x+1)(x+2)\)を微分せよ

【解答】

\(\{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)より、
\(y’=(x+1)'(x+2)+(x+1)(x+2)’=1\cdot(x+2)+(x+1)\cdot1=2x+3\)

【例題2】

\(y=x\log x\)を微分せよ

【解答】

\(\{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)より、

\begin{eqnarray}
(x\log x)’ &=& x’\cdot \log x+x\cdot(\log x)’ \\
&=& 1\cdot \log x+x\cdot \displaystyle \frac{1}{x}\\
&=&\log x+1 \end{eqnarray}

\(x\log x\)の微分については下記の記事で詳細に解説しています。

>>\(x\log x\)の微分<<

今回は以上です!

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