【微分】対数微分法とは｜例題と公式【いつ使う？絶対値が付く理由】

今回のテーマは対数微分法です。

です。

対数微分法の例題と公式、いつ使えばいいのか、絶対値が付く理由を解説していきます。

トムソン

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対数微分法はいつ使うか

対数微分法は、\(y=f(x)\)を\(x\)で微分したいとき、
『\(f(x)\)よりも\(\log f(x)\)の方が微分しやすいのであれば』使います。

具体的には、指数の肩に\(x\)が乗っているときは使えるイメージです。
下記が具体例になります。

$$x^x,\ a^x,\ (\sin x)^x,\ x^{ \frac{1}{x}}$$

対数微分法の例題１｜定番のやり方

【例題】

\(y=a^x\)を\(x\)について微分せよ。

【解答】

対数関数の微分法で微分する。
両辺の対数を取ると\((1)\)式が得られる。

$$\log y=\log (a^x)=x\log a\cdots(1)$$

合成関数の微分法より、左辺を微分すると、
\((\log y)’=\displaystyle \frac{y’}{y}\)であるから

両辺を\(x\)で微分すると、下記のように計算できる。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{d}{dx}\log y &=& \displaystyle \frac{d}{dx}x\log a \\
\displaystyle \frac{y’}{y}&=&\log a\\
y’&=&y\log a\\
y’&=&a^x \log a \end{eqnarray}

以上で対数微分法を使った微分は完了です！

対数微分法の例題２｜少し複雑

【例題】

\(y=\sin x\)を\(x\)について微分せよ。

【解答】

対数関数の微分法で微分する。
両辺の対数を取ると、\((1)\)式が得られる。

$$\log y=\log(\sin x)^x=x\log (\sin x)\cdots(1)$$

合成関数の微分法より、左辺を微分すると、
\((\log y)’=\displaystyle \frac{y’}{y}\)であるから

両辺を\(x\)で微分すると、下記のように計算できる。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{d}{dx}\log y &=& \displaystyle \frac{d}{dx}x\log (\sin x) \\
\displaystyle \frac{y’}{y} &=& \log (\sin x)+\displaystyle \frac{x \cos x}{\sin x} \\
y’&=&y\left(\log (\sin x)+\displaystyle \frac{x \cos x}{\sin x}\right)\\
&=&(\sin x)^x\left( \log (\sin x)+\displaystyle \frac{x }{\tan x}\right)\end{eqnarray}

以上で計算は完了です。

複雑に見える対数微分法ですが、指数の肩に\(x\)が乗っている場合は積極的に使うことで、微分の計算がかなり楽になります！

今回は以上です！