三角関数表のタンジェント表におけるtan10°を導出する

本解説では、tan 10° = 0.176326…を電卓で計算する手法について説明します。

θ30°45°60°90°
y0\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\)1\(\sqrt{3}\)

表で表す通り、$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は有名なため、値は計算できます。
一方で、$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$以外であるθ=1°だと計算するのが非常に大変です

本記事では、tan 10° = 0.176326…となる計算について紹介します。

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10桁のtan 10°を調べる

唐突ではありますが、tan 10°を10桁表してみましょう!$$\tan 10° = 0.1763269807\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 10° = 0.176326…を計算する

tan 10° = 0.176326…を計算するためにマクローリン展開を駆使します。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を入れて計算するとサインとコサインの値が求まります。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 10°=0.174532…$$ $$\sin 10° = 0.173648…$$
$$\cos 10° = 0.984807…$$

これを利用して、$\tan 10° = \displaystyle \frac{\sin 10°}{\cos 10°}$からtanを算出できます。

$$\tan 10° = 0.176326…$$

tan 10°の解説動画

このページで紹介した内容を120秒で確認できる動画を作りました!

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