三角関数表のタンジェントの表におけるtan111°を導出する

本解説では、tan 111° = -2.60509…を算出する処理方法について解説していきます。

θ 30° 45° 60° 90°
y 0 \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) 1 \(\sqrt{3}\)

この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は有名なため、値は算出できます。
ですが、$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$以外であるθ=1°だと計算するのが難しいです。

そこで、tan 111° = -2.60509…になる理由を紹介します。

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10位目までtan 111°を表す

早速ですが、tan 111°を10桁表してみましょう!$$\tan 111° = -2.6050890647\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 111° = -2.60509…を計算する

tan 111° = -2.60509…を解くためにマクローリン展開を駆使します。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を入れて計算するとサインとコサインを求められらます。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 111°=1.937315…$$ $$\sin 111° = 0.93358…$$
$$\cos 111° = -0.358368…$$

サインとコサインを使って$\tan 111° = \displaystyle \frac{\sin 111°}{\cos 111°}$からtanを求めることができます。

$$\tan 111° = -2.60509…$$

tan 111°の解説動画

今回紹介した内容を120秒で振り返ることができる動画を用意しました。よかったら、参考にしてください!

(誠意作成中)

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