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三角関数表のタンジェント表におけるtan12°を導出する

このページでは、tan 12° = 0.212556…を電卓で計算するやり方について説明します。

θ 30° 45° 60° 90°
y 0 \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) 1 \(\sqrt{3}\)

この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は有名なため、値は算出できます。
しかし、中途半端なθ=1°だとタンジェントの計算が困難です。

そこで、tan 12° = 0.212556…となる計算について解説します。

10桁のtan 12°を書いてみる

早速ですが、tan 12°を10桁表してみましょう!$$\tan 12° = 0.2125565616\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 12° = 0.212556…を明らかにする

tan 12° = 0.212556…を計算するためにマクローリン展開を活用します。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を代入して計算するとサインとコサインの値が求まります。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 12°=0.209439…$$ $$\sin 12° = 0.207911…$$
$$\cos 12° = 0.978147…$$

この2つの値を使うことで、$\tan 12° = \displaystyle \frac{\sin 12°}{\cos 12°}$からtanを求めることができます。

$$\tan 12° = 0.212556…$$

tan 12°|120秒の復習動画

今回明らかにした内容を120秒で復習できる動画を用意しました。

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