三角関数表のタンジェント表におけるtan15°を求める方法

今回は、tan 15° = 0.267949…を求める処理方法について共有します。

θ30°45°60°90°
y0\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\)1\(\sqrt{3}\)

この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は直角三角形から数値が算出できます。
ですが、$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$以外であるθ=1°だと求めるのが困難です。

そこで、tan 15° = 0.267949…になる理由を説明します。

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10桁のtan 15°を確認

唐突ではありますが、tan 15°を10桁表してみましょう!$$\tan 15° = 0.2679491924\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 15° = 0.267949…を計算する

tan 15° = 0.267949…を求めるためにマクローリン展開を利用します。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を入れるとサインとコサインを求められらます。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 15°=0.261799…$$ $$\sin 15° = 0.258819…$$
$$\cos 15° = 0.965925…$$

この2つの値を使うことで、$\tan 15° = \displaystyle \frac{\sin 15°}{\cos 15°}$からtanを算出できます。

$$\tan 15° = 0.267949…$$

tan 15°を復習できる動画

このページで紹介した内容を120秒で振り返ることができる動画を用意しました。

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