三角関数表のタンジェント表におけるtan16°を簡単導出!

本解説では、tan 16° = 0.286745…を算出する仕方について説明します。

θ30°45°60°90°
y0\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\)1\(\sqrt{3}\)

上記のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は直角三角形から数値が計算できます。
ですが、中途半端なθ=1°だと計算するのが難しいです。

そこで、tan 16° = 0.286745…となる計算について紹介します。

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tan 16°を10桁表す

まずは、tan 16°を10桁書いてみましょう!$$\tan 16° = 0.2867453857\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 16° = 0.286745…を計算する

tan 16° = 0.286745…を計算するためにマクローリン展開を利用します。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を入れるとサインとコサインが求まります。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 16°=0.279252…$$ $$\sin 16° = 0.275637…$$
$$\cos 16° = 0.961261…$$

そして、$\tan 16° = \displaystyle \frac{\sin 16°}{\cos 16°}$からtanを解くことができます。

$$\tan 16° = 0.286745…$$

tan 16°の解説動画

この記事で紹介した内容を120秒で振り返ることができる動画を準備しました。

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